Armato con i soli principi di base di Galileo (inerzia e relatività) e le leggi del moto planetario di Keplero, Newton fu in grado di determinare le leggi basilari del moto dei corpi, leggi che avrebbero rivoluzionato il modo di vedere le cose da lì in avanti. In effetti lo studio dell'astrodinamica è basato su quattro equazioni: le tre leggi del moto e la legge di gravitazione universale, tutte determinate da lui: nessun'altra persona come Newton è stata in grado di influire così pesantemente su un'intera disciplina scientifica.

Momento ed inerzia

Fin dai tempi di Galileo c'è stato un bel daffare per definire il concetto di inerzia. Da un punto di vista pratico, l'inerzia si può semplicemente definire come la tendenza di un corpo dotato di massa a perseverare nel suo stato attuale (sia esso di quiete o di moto): un po’ come un pigro signore che dopo una giornata di lavoro si sdraia sul divano e non ne vuole sapere di alzarsi per apparecchiare la tavola! L'inerzia ed il peso dei corpi sono chiaramente tra di loro collegati: definita la massa di un oggetto come la quantità di materia in esso contenuta, la prima è una caratteristica intrinseca ed immutabile di ogni corpo, mentre il peso è direttamente proporzionale alla accelerazione di gravità cui è sottoposto il corpo stesso e può variare da luogo a luogo.
Ricordando il primo principio della dinamica di Newton (ogni corpo non soggetto a forze esterne persevera nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme) possiamo definire come momento la quantità di resistenza che offre un corpo quando si tenta di cambiarne la velocità o la direzione del moto; esso è frutto della combinazione tra la massa e la velocità di un oggetto.
Dato che la velocità può essere sia lineare che angolare, anche il momento assume le stesse due forme:

Momento lineare

Se è la velocità di un corpo di massa m, allora il suo momento lineare vale  .

A parità di velocità, i corpi più massivi hanno un momento lineare maggiore.

Momento angolare

Se è la velocità angolare di un corpo avente momento di inerzia I, allora il suo momento angolare vale .
Per analogia con il caso del momento lineare, si può definire il momento angolare come la quantità di resistenza che questo offre nel modificare la sua velocità angolare o la direzione dell'asse di rotazione. Il momento angolare giace sempre nella stessa direzione del vettore velocità angolare. Nella figura sottostante è riportato l'esempio di un corpo cilindrico posto in rotazione attorno ad uno dei suoi assi principali di inerzia:

Nel caso di un oggetto di massa m avente velocità di rotazione costante attorno ad un certo asse e ad una distanza r da questo, si verificano le seguenti condizioni:

1. La velocità si mantiene costante in modulo e risulta funzione del raggio e della velocità angolare :
2. La velocità giace sempre sullo stesso piano
3. Si genera un vettore momento angolare che si mantiene anch'esso costante e si esprime come

 

 

Variazione del momento

Vista la immutabilità del valore del momento (sia esso lineare o angolare) in assenza di forze esterne, viene da sé ipotizzare che, qualora queste forze fossero effettivamente esercitate, il momento cambierebbe. Questo è esattamente quello che ci dice il secondo principio della dinamica di Newton:la variazione dello stato di moto è proporzionale alla forza motrice impressa e avviene lungo la direzione della forza stessa .
In altre parole, imponendo una forza motrice ad un corpo (sia esso fermo o in moto) questo varia la propria quantità di momento, con una velocità di variazione proporzionale alla forza impressa. Essendo l'accelerazione la variazione di velocità nel tempo, la seconda equazione della dinamica si scrive come:

.

Principio di azione e reazione

Straordinariamente semplice ma al tempo stesso di fondamentale importanza, il terzo principio della dinamica dichiara che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. E' in virtù di questo principio che gli aerei (a reazione, appunto, ma anche ad elica) riescono a volare ma anche, molto più banalmente, che noi riusciamo a camminare (la forza che scarichiamo a terra in ogni passo viene convertita, grazie alla presenza dell'attrito, in spinta).
Il principio di azione e reazione è quello che permette agli oggetti in orbita di variare il proprio stato di moto e quindi, ad esempio, cambiare orbita o assetto.

 

Le leggi di conservazione

Una caratteristica fondamentale di ogni sistema meccanico è che, nel caso questo non sia soggetto a forze dissipative, le grandezze fondamentali che lo descrivono (momento ed energia) rimangono costanti nel tempo.
Per quanto riguarda il momento, l'esempio pratico che da sempre viene utilizzato per illustrare questa proprietà è quello del pattinatore su ghiaccio che, nel bel mezzo di una piroetta, richiude a sé le braccia improvvisamente, aumentando altrettanto repentinamente la velocità di rotazione. A ben vedere, la relazione matematica che descrive il fenomeno è facilmente derivabile dall'equazione ponendo =cost. Così facendo si vede come al diminuire di debba necessariamente aumentare e, di conseguenza, .
La conservazione dell'energia meccanica è l'altro importantissimo caposaldo sul quale si fondano le relazioni derivate dell'astrodinamica: in maniera del tutto generica si può affermare che la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale si mantiene costante nel tempo. Un campo di forze in cui vale questa relazione viene detto conservativo ed è questo il caso del campo gravitazionale (quello i cui effetti sono soggetti alla legge di gravitazione universale), ma in generale i campi conservativi si possono considerare un'eccezione piuttosto che la regola: tanto per fare un esempio, la presenza di atmosfera nel modello di riferimento rende il campo non conservativo in quanto la resistenza aerodinamica è una forza dissipativa e tende a far diminuire l'energia meccanica totale.
Le parti di cui si compone l'energia meccanica sono dunque:

Energia potenziale

E' essenzialmente funzione della sola posizione del corpo all'interno del campo di forze. In termini del tutto generali, l'energia potenziale ha un valore pari al lavoro speso per spostare la massa m da una quota di riferimento (nella quale l'energia si suppone nulla) ad un generica quota H.
Vale la pena ricordare che il lavoro il fisica si esprime come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento: considerata l'espressione della legge di gravitazione universale si ottiene:

dove il prodotto GM è stato considerato come un'unica costante (vedremo meglio in seguito le sue caratteristiche).
Appare subito evidente come l'energia potenziale abbia un valore negativo (questo non deve disorientarci, in fondo è solamente una questione di convenzioni) come questa valga zero all'infinito. Tutto ciò ha delle implicazioni che emergeranno nel corso della nostra trattazione.

Energia cinetica

Questo tipo di energia è invece funzione della sola velocità che il corpo possiede rispetto al sistema di riferimento scelto. Molto semplicemente si può scrivere:

In definitiva possiamo scrivere l'espressione dell'energia meccanica totale in un campo gravitazionale (per unità di massa) come:

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Posted on November 8, 2010