Per essere valide, le equazioni del moto di Newton devono essere espresse in un sistema di riferimento inerziale. Dato che in natura non esistono sistemi puramente inerziali, solitamente ci si accontenta di definire sistemi di riferimento solidali con le stelle cosiddette fisse, che definiscono dei sistemi "quasi inerziali" le cui caratteristiche però approssimano in maniera soddisfacente le condizioni necessarie. Il sistema di riferimento scelto per descrivere il moto di oggetti in orbita attorno alla Terra ha le seguenti caratteristiche:

• Origine coincidente con il centro della Terra
• Piano principale coincidente con il piano equatoriale
• Direzione principale coincidente con la congiungente Terra-Sole il primo giorno di primavera
• Asse normale al piano principale coincidente con l'asse di rotazione terrestre

Tale sistema verrà d'ora in poi denominato "Sistema di riferimento inerziale" e sarà quello rispetto al quale verranno definite le equazioni del moto. Tuttavia nella trattazione del moto orbitale sarà spesso necessario fare riferimento ad un sistema solidale con la Terra, denominato "Sistema di riferimento fisso", avente le seguenti caratteristiche:

• Origine coincidente con il centro della Terra
• Piano principale coincidente con il piano equatoriale
• Direzione principale coincidente con la congiungente tra l'equatore ed il meridiano di Greenwich
• Asse normale al piano principale coincidente con l'asse di rotazione terrestre

La differenza tra i due sistemi di riferimento è facilmente comprensibile visualizzando il video sottostante, dove in giallo è rappresentato il sistema inerziale ed in blu quello fisso. Chiaramente i due sistemi si sovrappongono periodicamente, con periodo pari al giorno sidereo (23h, 56m e 4s); gli assi z dei due riferimenti sono tra di loro coincidenti.

Risolvere le equazioni del moto

Nel caso di un ipotetico sistema (detto dei due corpi) nel quale sono appunto presenti i soli due corpi di riferimento (Terra e satellite), l'effetto delle forze esterne sul corpo si riduce alla sola forza di attrazione gravitazionale , relazione che si può scrivere anche come:

Quest' ultima è un'equazione differenziale non lineare vettoriale del 2° ordine che nella forma in cui è riportata non offre alcuna esplicita informazione circa il moto di rivoluzione di un corpo attorno all'altro, ma effettuando opportune derivazioni matematiche (che non vengono riportate per brevità) si riesce a formulare la seguente relazione:

Questa equazione è la soluzione del problema dei due corpi e descrive la posizione del satellite in termini di due costanti (a ed e) ed un angolo polare. Da un punto di vista geometrico esssa è portatrice di molte informazioni; stabilito infatti che il significato delle costanti verrà discusso in seguito, risulta che il luogo dei punti descritto appartiene ad una conica. Altre deduzioni fondamentali sonole seguenti:

1. Il vettore momento angolare si mantiene costante (sempre riferendoci allo spazio inerziale): questo significa che la conica descritta sopra giace in un piano la cui orientazione è immutabile nel tempo
2. Fissata la massa del corpo principale il periodo, ossia l'intervallo temporale necessario al satellite per percorrere la sua orbita, è funzione della sola dimensione dell'orbita: 
3. L'energia meccanica totale (per unità di massa) si mantiene costante: 

L’equazione al punto 2 fornisce la quantificazione analitica della terza legge di Keplero, mentre la quella al punto 3  esplicita che, una volta fissata la forma dell’orbita, l’energia meccanica di questa ne è completamente definita in valore (che si mantiene costante) ed in segno: per le coniche chiuse, dove il parametro a è definito come maggiore di zero, l’energia meccanica è negativa, mentre per le orbite aperte è nulla o positiva. Il fatto che l’energia totale possa essere negativa non deve stupire: questo risultato è infatti il frutto delle convenzioni adottate e, a ben pensarci, fornisce indicazioni molto intuitive: quando infatti l'energia meccanica è negativa il corpo "attratto" (il satellite nel nostro caso) non ha l'energia sufficiente per liberarsi dal campo gravitazionale cui è sottoposto, e quindi rimane "imprigionato" attorno al corpo centrale, descrivendo così un'orbita chiusa; quando invece l'energia meccanica è nulla o positiva il corpo "fugge" dal centro di attrazione gravitazionale.

Le coniche e le loro proprietà

Con conica si intende una curva piana luogo dei punti intersezione tra la superficie di un cono circolare retto con un piano. A seconda dell'angolo con cui il piano interseca la superficie del cono si ottiene una conica diversa; in particolare le coniche possono essere chiuse (cerchi, ellissi) o aperte (parabole, iperboli), con i seguenti casi specifici:

• Si ottiene un cerchio quando la normale al piano intersecante è parallela all'asse di simmetria del cono
• Si ottiene una parabola quando il piano intersecante è parallelo ad una retta generatrice del cono

Ogni conica è dotata di punti caratteristici che prendono il nome di fuochi. In astrodinamica (in particolare nel problema dei due corpi ristretto, quale quello che stiamo trattando ora), uno dei due corpi occupa stabilmente un fuoco ed il secondo percorre una traiettoria descrivente una conica; se la conica è chiusa o aperta dipende essenzialmente dal valore dell'energia meccanica del sistema dei due corpi. Riservandoci sin da ora di trattare per il momento le sole coniche chiuse (cerchi, ellissi), si vuole evidenziare come la forma di questa nel piano è essenzialmente determinata dal valore di due parametri: il semiasse maggiore, indicato con la lettera a, che individua la dimensione della conica e l’eccentricità e (il cui valore varia tra 0 ed 1) che ne determina la forma (nel caso particolare in cui l’eccentricità sia nulla l’ellisse degenera in un cerchio, mentre quando vale 1 degenera in una parabola, ossia un’ellisse con semiasse maggiore infinitamente lungo).

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Posted on November 9, 2010